Questão Unb - Topografia

Questão (Unb) - Uma das maneiras de se representar a Terra em uma região plana para o traçado de mapas geográficos é a "projeção estereográfica", que consiste em projetar os pontos de uma esfera sobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa por seu pólo Sul. Mais precisamente, a projeção de um ponto P da esfera é um ponto P' de α, obtido pela interseção com o plano α da reta determinada por P e pelo pólo Norte. Essa construção está representada na figura a seguir, em que O é o centro da esfera, M e Q são pontos sobre um mesmo paralelo, A é o ponto médio do segmento M' Q', sendo M' e Q' as projeções dos pontos M e Q, respectivamente.

Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a 6.400km e que um barco percorra, ao longo de um meridiano, um caminho correspondente a uma diferença de latitude de 60°, a partir da latitude 60° sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da superfície terrestre feito a partir da projeção estereográfica da Terra e com escala 1:10^8, calcule, em centímetros,
o comprimento da projeção do percurso desse barco no mapa. Para isso, considere, ainda, tg15° =0,27 e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

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• Passo a passo

Para resolver essa questão é necessário saber duas coisas:
1- Toda linha  em um circulo trigonométrico que parte do ângulo de 90° e atinge os ângulos de 180° e 0/360° forma um ângulo de 45°.
2- Se essa linha for prolongada até uma reta que passa por 270°, o tamanho do cateto oposto ao ângulo de 45° sempre será 2 vezes o tamanho do raio do circulo.

Conforme o desenho mostra percebe-se que o ângulo de 45° abrange um quadrante inteiro e como já sabemos cada quadrante contem 90°. O que significa que a cada 90° de um circulo trigonométrico temos 45°no triangulo, ou seja, cada grau do circulo trigonométrico equivale a 0,5 graus no triangulo.

O exercício diz que o barco andou 60° sentido sul-norte, então temos:

Sabemos que xy  equivale a 45°, então :

y= 60° x 0,5

y= 30° 

e

x= xy-y 

x= 45°- 30°

x= 15° 

Analisando o desenho podemos perceber que:

b= 2R-a              * R: Raio

Para achar a temos que achar a hipotenusa do triângulo de 30°:
Cos 30°= CA
                  H
0,86= 12,800
               H
H= 14,883

Agora vamos achar a usando a lei dos senos:

Sen15° = sen45°
    a          14,883

0,25 =         1
  a      14,883

a= 3,720

Para b:

b=2R-a

b= 2*6,400-a

b= 12,800 - 3,720

b= 9,080 km

Transformando em cm: 

1km = 100000cm

9,080 = X

X= 908,000,000cm

Escala

1:10^8  =9,08cm

Resposta: 9cm